（上一章大段重复，发不出来，分两段）。
    巨大基数：v中存在一个初等嵌入j:v→m从v到一个具有临界点k的可传递内模型，那么这个它就是所谓的巨大基数，也就是j(k)m?m。
    伍丁基数：(在强基数后)
    f:λ→λ存在一个基数k＜λ和{f(β)|β＜k}和基本嵌入j : v→m来自冯诺依曼宇宙v进入可传递的内部模型m和临界点k和v_j(f）(k)?m一个等效的定义是这样的：
    λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是非常难以接近的
    a?v_λ存在一个λ_a＜λ这是＜λ-a-strong的
    超强基数：当且仅当存在基本嵌入 j ：v→m从v到具有临界点k和v_j(k)?m
    类似地，基数k是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : v→m从v到具有临界点k和v_jn(k)?m 。
    akihiro kanamori已经表明，对于每个n＞0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。
    强紧致基数：当且仅当每个k-完全滤波器都可以扩展为k-完全超滤器时，基数k是强紧凑的。
    强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数k的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于k来定义的；那么k是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于k的某个子集合中得出。强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与zfc一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
    超紧致基数：如果m?m，则称k为λ超紧基数；如果对任意为λ≥k，k为λ超紧基数，则称k为超紧基数。
    若k是超紧基数，则存在k个小于k的超强基数。
    假设n是一个zfc的模型, δ是一个超紧基数, 如果对任意λ＞δ, 存在pδ (λ) 一个δ-完全的正则精良超滤u满足
    1:pδ（λ）nn∈u;
    2:unn∈n，
    就称n是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型 (weak tender model) 。k为λ-超紧致基数是指存在满足以下条件的j:v→m成为其临界点:λm?m.j(k)＞λ.
    k为超紧基数是指对于任意λ≥k，λ-超紧。
    伊卡洛斯基数：存在一个l(v_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于v_λ+2-l(v_λ+1)。
    完整性公理|3~|0
    |3：存在vλ到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:vp→vp。
    |2：v存在一个非平凡基本嵌入到包含vλ的传递类m，入为临界点上方的第一个不动点，也就是， 非自明初等嵌入j:v→m，存在满足vpm且超过j临界点的最小不动点为p的情况。
    |1：vλ+1到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:vp+1→vp+1。
    |0：存在l(vλ+1)的非平凡基本嵌入，其临界点＜λ公理。
    也就是存在非自明初等嵌入j:l(vp+1)→l(vp+1)。
    以下更大的巨大基数的性质被选择公理所否定，但它们的存在不能只在策梅罗-弗伦克尔公理系统(即不使用选择公理zf )中否定。
    莱因哈特基数：莱因哈特基数reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点j : v→v的v进入自身。
    这个定义明确地引用了适当的类j.
    在标准zf中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在 suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：v→v.还2有其他已知不一致的reinhardt基数公式。一是新增功能符号j用zf的语言，连同公理说明j是的基本嵌入v，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如nbg或km，它们承认在上述意义上不需要定义的类。又或是有一个公理主张存在被称为reinhardt基数的基数。
    这个基数公理在普通集合论的公理系统zfc中不能很好地表达，例如，需要考虑可以把真正的类作为理论对象来处理的zfc的扩展，但是基数k为reinhardd 在某个集合论的universe对自己的初等映射j中，存在k为j(k)≠k的最小顺序数的情况。
    这个基数的概念引入后不久，这样